Физика
Раздел 2. Молекулярная физика. Термодинамика назад оглавление вперед

Основные формулы

  • Количество вещества однородного газа (в молях)

  • или ,

    где N – число молекул газа; - постоянная Авогадро; m – масса газа; M – молярная масса газа.

    Если система представляет смесь нескольких газов, то количество вещества системы

    или

    где - соответственно количества вещества, число молекул, масса, молекулярная масса i-й компоненты смеси.

  • Уравнение Менделеева – Клапейрона (уравнение состояния идеального газа):

  • где m – масса газа; М – молярная масса газа; R – молярная газовая постоянная; - количество вещества; Т – термодинамическая температура.

  • Опытные газовые законы, являющиеся частными случаями уравнения Менделеева – Клапейрона для изопроцессов:
  • а) закон Бойля – Мариотта (изотермический процесс – Т =const, m=const):

    или для двух состояний газа:

    б) закон Гей-Люссака (изобарный процесс – p =const, m =const):

    или для двух состояний:

    в) закон Шарля (изохорный процесс – V =const, m =const):

    или для двух состояний:

    г) объединенный газовый закон (m =const):

    или

    где - давление, объем и температура газа в начальном состоянии; - те же величины в конечном состоянии.

  • Закон Дальтона, определяющий давление смеси газов:

  • где - парциальные давления компонентов смеси; n – число компонентов смеси.

    Парциальным давлением называется давление газа, которое производил бы этот газ, если бы только он один находился в сосуде, занятом смесью.

  • Молярная масса смеси газов: 

  • где - масса i-го компонента смеси; - количество вещества i-го компонента смеси; n – число компонентов смеси.

  • Массовая доля

  • i-го компонента смеси газа (в долях единицы или процентах):

    ,

    где m – масса смеси.

  • Концентрация молекул:

  • где – число молекул, содержащихся в данной системе; - плотность вещества, V – объем системы. Формула справедлива не только для газов, но и для любого агрегатного состояния вещества.

  • Основное уравнение кинетической теории газов:

  • ,

    где - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

  • Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы:

  • где k – постоянная Больцмана.

  • Средняя полная кинетическая энергия молекулы:

  • где i – число степеней свободы молекулы.

  • Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры:

  • Скорости молекул:

  • (средняя квадратичная);

    (средняя арифметическая);

    (наиболее вероятная),

    где - масса одной молекулы.

  • Относительная скорость молекулы:

  • где - скорость данной молекулы.

  • Удельные теплоемкости газа при постоянном объеме и при постоянном давлении :

  • Связь между удельной с и молярной С теплоемкостями:

  • Уравнение Майера:

  • Внутренняя энергия идеального газа:

  • Первое начало термодинамики:

  • где Q – теплота, сообщенная системе (газу); - изменение внутренней энергии системы; А – работа, совершенная системой против внешних сил.

  • Работа расширения газа:

  • (в общем случае);

    (при изобарном процессе);

    (при изотермическом процессе);

    или (при адиабатном процессе),

    где - показатель адиабаты.

  • Уравнения Пуассона, связывающие параметры идеального газа при адиабатном процессе:

  • Термический к.п.д. цикла: 

  • где теплота, полученная рабочим телом от теплоотдатчика; теплота переданная рабочим телом теплоприемнику.

  • Термический к.п.д. цикла Карно:

  • где и термодинамические температуры теплоотдатчика и теплоприемника.

  • Коэффициент поверхности натяжения:

  • или

    где F – сила поверхностного натяжения, действующая на контур l ограничивающий поверхность жидкости; изменение свободной энергии поверхностной пленки жидкости, связанной с изменением площади поверхности этой пленки.

  • Формула Лапласа, выражающая давление р, создаваемое сферической поверхностью жидкости:

  • где R – радиус сферической поверхности.

  • Высота подъема жидкости в капиллярной трубке:

  • где краевой угол ( при полном смачивании стенок трубки жидкостью; при полном несмачивании); R – радиус канала трубки; p – плотность жидкости; g – ускорение свободного падения.

  • Высота подъема жидкости между двумя близкими и параллельными друг другу плоскостями:

  • где d – расстояние между плоскостями.

    ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

    ПРИМЕР 1. Определить число N молекул, содержащихся в объеме воды, и массу молекулы воды. Считая условно, что молекулы воды имеют вид шариков, соприкасающихся друг с другом, найти диаметр d молекул.

    РЕШЕНИЕ. Число N молекул, содержащихся в некоторой системе массой m, равно произведению постоянного Авогадро на количество вещества v:

    .

    Так как где M – молярная масса, то Выразив в этой формуле массу как произведение плотности на объем V, получим:

    Произведем вычисления, учитывая, что (см. прил., табл. 14):

    Массу одной молекулы можно найти по формуле

    (2)

    Поставив в (2) значения M и , найдем массу молекулы воды: 

    Если молекулы воды плотно прилегают друг к другу, то можно считать, что на каждую молекулу приходится объем (кубическая ячейка) , где d - диаметр молекулы. Отсюда

    (3)

    Объем найдем, разделив молярный объем на число молекул в моле, т.е. на :

    . (4)

    Подставим выражение (4) в (3):

    где Тогда

    (5)

    Проверим, дает ли правая часть выражения (5) единицу длины:

    Произведем вычисления: 

    ПРИМЕР 2. В болоне объемом V=10 л находится гелий под давлением и при температуре После того как из баллона было взято m = 10 г гелия, температура в баллоне понизилась до Определить давление гелия, оставшегося в баллоне.

    РЕШЕНИЕ. Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева – Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа:

    (1)

    где масса гелия в баллоне в конечном состоянии; М – молярная масса гелия; R – молярная газовая постоянная.

    Из уравнения (1) выразим искомое давление:

    (2)

    Массу гелия выразим через массу , соответствующую начальному состоянию, и массу m гелия, взятого из баллона:

    (3)

    Массу гелия найдем также из уравнения Менделеева – Клапейрона, применив его к начальному состоянию:

    (4)

    Подставив выражение массы в (3), а затем выражение в (2), найдем

    или

    (5)

    Проверим, дает ли формула (5) единицу давления. Для этого в ее правую часть вместо символов величин подставим их единицы. В правой части формулы два слагаемых. Очевидно, что первое из них дает единицу давления, так как состоит из двух множителей, первый из которых безразмерный, а второй – давление. Проверим второе слагаемое:

    Паскаль является единицей давления. Произведем вычисления по формуле (5), учитывая, что (см. прим., табл. 14):

    ПРИМЕР 3. Баллон содержит кислорода и аргона. Давление смеси р=1МПа, температура Т=300К. Принимая данные газы за идеальные, определить объем V баллона.

    РЕШЕНИЕ. По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси.

    По уравнению Менделеева – Клапейрона парциальные давления кислорода и аргона выражаются формулами:

    Следовательно, по закону Дальтона давление смеси газов

    или

    откуда объем баллона

    (1)

    Произведем вычисления, учитывая, что (см. прил., табл. 14):

    ПРИМЕР 4. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре Т=350К, а также кинетическую энергию вращательного движения всех молекул кислорода массой m = 4г.

    РЕШЕНИЕ. На каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия, где к – постоянная Больцмана; Т – термодинамическая температура газа. Так как вращательному движению двухатомной молекулы (молекула кислорода – двухатомная) соответствуют две степени свободы, то средняя энергия вращательного движения молекулы кислорода

    (1)

    Кинетическая энергия вращательно движения всех молекул газа

    (2)

    Число всех молекул газа

    (3)

    где постоянная Авогадро; v – количество вещества.

    Если учесть, что количество вещества где m – масса газа; М – молярная масса газа, то формула (3) принимает вид

    Подставив выражение N в формулу (2), получаем

    (4)

    Произведем вычисления, учитывая, что для кислорода (см. прил., табл. 14):

    ПРИМЕР 5. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме и при постоянном давлении неона и водорода, принимая эти газы за идеальные.

    РЕШЕНИЕ. Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами:

    (1) (2)

    где i – число степеней свободы молекулы газа; М – молярная масса. Для неона (одноатомный газ) i =3 и (см. прил., табл. 14).

    Произведем вычисления:

    Для водорода (двухмерный газ) i =5 и . Тогда:

    ПРИМЕР 6. Вычислить удельные теплоемкости и смеси неона и водорода, если массовые доли неона и водорода составляют, и Значения удельных теплоемкостей газов взять из предыдущего примера.

    РЕШЕНИЕ. Удельную теплоемкость смеси при постоянном объеме найдем следующим образом. Теплоту, необходимую для нагревания смеси на , выразим двумя способами:

    (1)

    (2)

    где удельная теплоемкость неона; удельная теплоемкость водорода.

    Приравняв правые части (1) и (2) и разделив обе части полученного равенства на , получим откуда

    (3)

    или

    (4)

    где и .

    Рассуждая так же, получим формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении:

    (5)

    Произведем вычисления:

    ПРИМЕР 7. Кислород массой m=2 кг занимает объем и находится под давлением Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема а затем при постоянном объеме до давления Найти изменение внутренней энергии газа, совершенную им работу А и теплоту Q,, переданную газу. Построить график процесса.

    РЕШЕНИЕ. Изменение внутренней энергии газа

    (1)

    где i – число степеней свободы молекул газа (для двухатомных молекул кислорода i = 5), разность температур газа в конечном (третьем) и начальном состояниях.

    Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения Менделеева – Клапейрона откуда

    Работа расширения газа при постоянном давлении выражается формулой

    Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю, т.е.

    Следовательно, полная работа, совершаемая газом,

    Согласно первому началу термодинамики теплота Q, переданная газу, равна сумме изменения внутренней энергии и работы А:

    Произведем вычисления, учтя, что для кислорода (см. прил., табл. 14):

    График процесса приведен на рис. 8.

     Рис.8

    ПРИМЕР 8. В цилиндре под поршнем находится водород массой m=0,02кг при температуре, Водород сначала расширился адиабатно, увеличив свой объем в раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в раз. Найти температуру в конце адиабатного расширения и работу, совершенную газом при этих процессах. Изобразить процесс графически.

    РЕШЕНИЕ. Температуры и объемы газа, совершающего адиабатный процесс, связаны между собой соотношением

    или

    где отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме,

    Отсюда получаем следующее выражение для конечной температуры:

    Работа газа при адиабатном расширении может быть определена по формуле

    где молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Работа газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде

    или

    где

    Произведем вычисления, учтя, что для водорода как двухатомного газа и

    Так как (находится логарифмированием), то

    Знак “минус” показывает, что при сжатии работа газа совершается над газом внешними силами. График процесса приведен на рис. 9.

     Рис.9

    ПРИМЕР 9. Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура теплоотдатчика . Определить термический к. п. д. цикла и температуру теплоприемника тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от теплоотдатчика, машина совершает работу .

    РЕШЕНИЕ. Термический к. п. д. тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от теплоотдатчика, превращается в механическую работу. Термический к. п. д. выражается формулой

    ,

    где теплота, полученная от теплоотдатчика; А – работа, совершенная рабочим теплом тепловой машины.

    Зная к. п. д. цикла, можно по формуле определить температуру охладителя :

    .

    Произведем вычисления:

    ПРИМЕР 10. Найти добавочное давление внутри мыльного пузыря диаметром . Какую работу нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь?

    РЕШЕНИЕ. Пленка мыльного пузыря имеет две сферические поверхности – внешнюю и внутреннюю. Обе поверхности оказывают давление на воздух, заключенный внутри пузыря. Так как толщина пленки чрезвычайно мала, то диаметры обеих поверхностей практически одинаковы. Поэтому добавочное давление

    ,

    где r – радиус пузыря. Так как , то

    .

    Работа, которую нужно совершить, чтобы, растягивая пленку, увеличить ее поверхность на , выражается формулой

    или .

    В данном случае общая площадь двух сферических поверхностей пленки мыльного пузыря; общая площадь двух поверхностей плоской пленки, затягивавшей отверстие трубки до выдувания пузыря. Пренебрегая , получаем

    .

    Произведем вычисления:


    назад | оглавление | вперёд