Физика |
Раздел 6. Физика атомов и атомного ядра. Элементарные частицы. Основы квантовой механики. Физика твердого тела. | назад оглавление |
Основные формулы
Боровская теория
Момент импульса электрона (второй постулат Бора)
,
или
,
где m – масса электрона:
скорость электрона
на n-й орбите;
радиус
n-й стационарной орбиты;
постоянная
Планка; n – главное квантовое число (n=1,2,…).
Радиус n-й стационарной орбиты:
,
где радиус
Бора.
Энергия электрона в атоме водорода:
,
где энергия
ионизации атома водорода.
Энергия, излучаемая или поглощаемая атомом водорода:
,
или
,
где
и
- квантовые
числа, соответствующие энергетическим уровням, между которыми совершается переход
электрона в атоме.
Спектроскопическое волновое число:
,
где длина
волны изучения или поглощения атомом; R – постоянная Ридберга.
Волновые свойства частиц
Длина волны де Бройля:
,
где p – импульс частицы.
Импульс частицы и его связь с кинетической энергией Т:
а) ;
б) .
где масса
покоя частицы; m – релятивистская масса;
скорость
частицы; с – скорость света в вакууме;
энергия
покоя частицы (
).
Соотношение неопределенностей:
а)
(для координаты и импульса);
где неопределенность
проекции импульса на ось х;
неопределенность
координаты;
б)
(для энергии и времени),
где неопределенность
энергии;
время
жизни квантовой системы в данном энергетическом состоянии.
Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний:
,
где волновая
функция, описывающая состояние частицы; m – масса частицы; Е –
полная энергия;
потенциальная
энергия частицы.
Плотность вероятности:
,
где вероятность
того, что частица может быть обнаружена вблизи точки с координатой х
на участке dx.
Вероятность обнаружения частицы
в интервале от
до
:
.
Решение уравнения Шредингера для одномерного, бесконечно глубокого, прямоугольного потенциального ящика:
а)
(собственная нормированная волновая функция);
б)
(собственное значение энергии),
где n – квантовое число (n=1,2,3,…); l – ширина ящика.
В области
и
.
Пространственная решетка кристалла:
Молярный объем кристалла:
,
где М – молярная масса;
плотность кристалла.
Объем элементарной ячейки для решетки кубической сингонии:
,
где а – параметр решетки.
Число элементарных ячеек в одном моле кристалла:
;
если кристалл состоит из одинаковых атомов, то
,
где n – число одинаковых
атомов, приходящихся на элементарную ячейку; постоянная
Авогадро.
Отношение числа элементарных ячеек к объему кристалла:
;
если кристалл состоит из одинаковых атомов, то
.
Параметр кубической решетки из одинаковых атомов:
.
Расстояние между соседними атомами в кубической решетке:
а)
(гранецентрированной);
б)
(объемно – центрированной).
Теплоемкость кристалла
Средняя энергия квантового одномерного осциллятора:
,
где нулевая
энергия (
);
постоянная Планка;
круговая
частота колебаний осциллятора; к – постоянная Больцмана; Т – термодинамическая
температура.
Молярная внутренняя энергия системы, состоящей из невзаимодействующих квантовых осцилляторов:
,
где R – молярная газовая
постоянная; характеристическая
температура Эйнштейна;
молярная
нулевая энергия (по Эйнштейну).
Молярная теплоемкость кристаллического твердого тела по Дебаю:
,
где характеристическая
температура Дебая (
).
Молярная теплоемкость кристаллического твердого тела в области низких температур (предельный закон Дебая)
.
Теплота, необходимая для нагревания тела:
,
где m – масса тела; М
– молярная масса;
и
начальная
и конечная температура тела.
Элементы квантовой статистики
Распределение свободных электронов в металле по энергиям при 0 К:
,
где концентрация
электронов, энергии которых заключены в пределах от
до
; m
– масса электрона. Это выражение справедливо при
(где
энергия
или уровень Ферми).
Энергия Ферми в металле при Т=0 К
,
где n – концентрация электронов в металле.
Полупроводники
Удельная проводимость собственных полупроводников:
,
где е – элементарный заряд;
n – концентрация носителей заряда (электронов и дырок);
и
- подвижности
электронов и дырок.
Напряжение на гранях прямоугольного образца при эффекте Холла, холловская разность потенциалов:
,
где постоянная
Холла; В – магнитная индукция; j – плотность тока; а –
ширина пластины (образца).
Постоянная Холла для полупроводников типа алмаз, германий, кремний и др., обладающих носителями заряда одного вида (n или р):
,
где n – концентрация носителей заряда.
Магнетики
Связь магнитной индукции В с напряженностью Н магнитного поля в изотропном магнетике:
,
где магнитная
проницаемость среды;
магнитная
постоянная.
Намагниченность однородного изотропного магнетика:
,
где магнитный
момент i-й молекулы (атома); N – число молекул в объеме V.
Молярная намагниченность однородного изотропного магнетика:
,
где m – масса магнетика;
М – молярная масса; плотность
магнетика.
Удельная намагниченность однородного изотропного магнетика:
,
Магнитная восприимчивость однородного изотропного магнетика:
,
где Н – напряженность магнитного поля.
Молярная магнитная восприимчивость однородного изотропного магнетика:
.
Удельная магнитная восприимчивость однородного изотропного магнетика:
.
Связь магнитной восприимчивости с магнитной проницаемостью:
.
Намагниченность при насыщении в случае однородного изотропного магнетика:
,
где n – концентрация молекул
атомов с магнитным моментом .
Магнитная восприимчивость парамагнитного
однородного изотропного магнетика при условии :
,
где к – постоянная Больцмана; Т – термодинамическая температура.
Магнетон Бора:
.
где масса
электрона;
.
Частота прецессии Лармора:
.
где В – магнитная индукция.
Атомное ядро. Радиоактивность
Массовое число ядра (число нуклонов в ядре):
,
где Z – зарядовое число (число протонов); N – число нейтронов.
Закон радиоактивного распада:
,
или
,
где dN – число ядер, распадающихся
за интервал времени dt; N – число ядер, нераспавшихся к моменту
времени t; число
ядер в начальный момент (t=0);
постоянная
радиоактивного распада.
Число ядер, распавшихся за время t:
.
В случае если интервал времени
, за который
определяется число распавшихся ядер, много меньше периода полураспада
,
то число распавшихся ядер можно определить по формуле
.
Зависимость периода полураспада от постоянной радиоактивного распада:
.
Среднее время
жизни радиоактивного ядра, т.е. интервал времени, за который число нераспавшихся
ядер уменьшается в е раз:
.
Число N атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе:
,
где m – масса изотопа; М
– молярная масса; постоянная
Авогадро.
Активность А радиоактивного изотопа:
,
или
.
где dN – число ядер, распадающихся
за интервал времени dt; активность
изотопа в начальный момент времени.
Удельная активность изотопа:
.
Дефект массы ядра:
,
где Z – зарядовое число
(число протонов в ядре); А – массовое число (число нуклонов в ядре);
число нейтронов
в ядре;
масса
протона;
масса
нейтрона;
масса
ядра.
Энергия связи ядра:
,
где дефект
массы ядра; с – скорость света в вакууме.
Во внесистемных единицах энергия
связи ядра ,
где дефект массы
в а. е. м.; 931 – коэффициент пропорциональности (1 а. е. м. ~ 931 МэВ).
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПРИМЕР 1. Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энергетического уровня на второй. Определить энергию испущенного при этом фотона.
РЕШЕНИЕ. Для определения энергии фотона воспользуемся сериальной формулой для водородоподобных ионов:
,
(1)
где λ – длина волны фотона; R
– постоянная Ридберга; Z – заряд ядра в относительных единицах (при
формула переходит в сериальную формулу для водорода);
номер
орбиты, на которую перешел электрон;
номер
орбиты, с которой перешел электрон (
и
главные квантовые
числа).
Энергия фотона
выражается формулой
.
Поэтому, умножив обе части равенства (1) на hc, получим выражение для энергии фотона:
.
Так как Rhc есть энергия
ионизации атома
водорода, то
.
Вычисления выполним во внесистемных
единицах: (см.
прил., табл.1);
.
ПРИМЕР 2. Электрон, начальной
скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов
U. Найти длину волны де Бройля λ для двух случаев: 1) ;
2)
.
РЕШЕНИЕ. Длина волны де Бройля для частицы зависит от ее импульса р и определяется формулой
,
(1)
где h – постоянная Планка.
Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия Т. Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше ее покоя) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы).
В нерелятивистском случае
,
(2)
где масса
покоя частицы.
В релятивистском случае
,
(3)
где энергия
покоя частицы.
Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) запишется:
В нерелятивистском случае
,
(4)
в релятивистском случае
.
(5)
Сравним кинетические энергии
электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов
и
, с энергией
покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую из формул (4) и (5) следует
применить для вычисления длины волны де Бройля.
Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U,
.
В первом случае ,
что много меньше энергии покоя электрона
.
Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения расчетов
заметим, что
.
Подставив это выражение в формулу (4), перепишем ее в виде
.
Учитывая, что
есть комптоновская длина волны
,
получаем
.
Так как
(см. табл. 1), то
.
Во втором случае кинетическая
энергия , т.е.
равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую
формулу (5). Учитывая, что
,
по формуле (5) находим
,
или
.
Подставим значение
и произведем вычисления:
.
ПРИМЕР 3. Кинетическая энергия
электрона в атоме водорода составляет величину порядка .
Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные линейные размеры
атома.
РЕШЕНИЕ. Соотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет вид
,
где неопределенность
координаты частицы (в данном случае электрона);
неопределенность
импульса частицы (электрона);
постоянная
Планка h, деленная на
.
Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а, следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью
.
(1)
Соотношение неопределенностей (1) можно записать в этом случае в виде
,
откуда
.
(2)
Физически разумная неопределенность
импульса во
всяком случае не должна превышать значения самого р, т.е.
.
Импульс р связан с кинетической энергией Т соотношением
.
Заменим
значением
(такая замена
не увеличит l). Переходя от неравенства к равенству, получим
.
Проверим, дает ли полученная формула единицу длины. Для этого в правую часть формулы (3) вместо символов величин подставим обозначения их единиц:
.
Найденная единица является единицей длины.
Произведем вычисления:
.
ПРИМЕР 4. Волновая функция
описывает
основное состояние частицы в бесконечно прямоугольном ящике ширина l. Вычислить
вероятность нахождения частицы в малом интервале
в
двух случаях: 1) вблизи стенки (
);
2) в средней части ящика
.
РЕШЕНИЕ. Вероятность того, что частица будет обнаружена в интервале dx (от x до x+dx), пропорциональна этому интервалу и квадрату модуля волновой функции, описывающей данное состояние, равна
.
В первом случае искомая вероятность найдется интегрированием в пределах от 0 до 0,01l (рис. 37):
Рис.37
.
(1)
Знак модуля опущен, так как
функция в данном
случае не является комплексной.
Так как x изменяется
в интервале
и, следовательно,
,
справедливо приближенное равенство
.
С учетом этого выражения (1) примет вид
.
После интегрирования получим
.
Во втором случае можно обойтись
без интегрирования, так как квадрат модуля волновой функции вблизи ее максимума
в заданном малом интервале
практически не изменяется. Искомая вероятность во втором случае определяется
выражением
,
или
.
ПРИМЕР 5. Вычислить дефект
массы и энергии связи ядра .
РЕШЕНИЕ. Масса ядра всегда
меньше суммы масс свободных (находящихся вне ядра) протонов и нейтронов, из
которых ядро образовалось. Дефект массы ядра
и есть разность между суммой масс свободных нуклонов (протонов и нейтронов)
и массой ядра, т.е.
,
(1)
где Z – атомный номер (число
протонов в ядре); А – массовое число (число нуклонов, составляющих ядро); соответственно
массы протона, нейтрона и ядра.
В справочных таблицах всегда
даются массы нейтральных атомов, но не ядер, поэтому формулу (1) целесообразно
преобразовать так, чтобы в нее входила масса
нейтрального атома. Можно считать, что масса нейтрального атома равна сумме
масс ядра и электронов, составляющих электронную оболочку атома:
,
откуда
.
(2)
Выразив в равенстве (1) массу
ядра по формуле (2), получаем ,
или
.
Замечая, что ,
масса атома
водорода, окончательно находим
.
(3)
Подставив в выражение (3) числовые значения масс (см. прил., табл. 15 и 17), получим
В соответствии с законом пропорциональности массы и энергии
,
(3)
где с – скорость света в вакууме.
Коэффициент пропорциональности
может быть выражен двояко:
или
.
Если вычислить энергию связи,
пользуясь внесистемными единицами, то
С учетом этого формула (3) примет вид
.
(4)
Подставив найденное значение дефекта массы ядра в формулу (4), получим
.
Примечание. Термин “дефект массы” часто
применяется в другом смысле: дефектом массы
называют разность между массой нейтрального атома данного изотопа и его массовым
числом
.Эта
величина особого физического смысла не имеет, но ее использование позволит в
ряде случаев значительно упростить вычисления. В настоящем пособии всюду имеется
в виду дефект массы
,
определяемый формулой (1).
ПРИМЕР 6. При соударении
частицы с ядром
бора
произошла
ядерная реакция, в результате которой образовалось два новых ядра. Одним из
этих ядер было ядро атома водорода
.
Определить порядковый номер и массовое число второго ядра, дать символическую
запись ядерной реакции и определить ее энергетический эффект.
РЕШЕНИЕ. Обозначим неизвестное
ядра символом .
Так как
частица
представляет собой ядро гелия
,
запись реакции имеет вид
Применив закон сохранения числа
нуклонов, получим уравнение ,
откуда А=13. Применив закон сохранения заряда, получим уравнение
,
откуда Z=6. Следовательно, неизвестное ядро является ядром атома изотопа
углерода
.
Теперь можем записать реакцию в окончательном виде:
Энергетический эффект Q ядерной реакции определяется по формуле
.
Здесь в первых круглых скобках указаны массы исходных ядер, во вторых скобках – массы ядер – продуктов реакции. При числовых подсчетах по этой формуле массы ядер занимают массы нейтральных атомов. Возможность такой замены вытекает из следующий соображений.
Число электронов в электронной оболочке нейтрального атома равно его зарядовому числу Z. Сумма зарядовых чисел исходных ядер равна сумме зарядовых чисел ядер – продуктов реакции. Следовательно, электронные оболочки ядер гелия и бора содержат вместе столько же электронов, сколько их содержат электронные оболочки ядер углерода и водорода.
Очевидно, что при вычитании суммы масс нейтральных атомов углерода и водорода из суммы масс атомов гелия и бора массы электронов выпадут, и мы получим тот же результат, как если бы брали массы ядер. Подставив массы атомов (см. прил., табл. 15) в расчетную формулу, получим
.
ПРИМЕР 7. Определить начальную
активность
радиоактивного препарата магния
массой
, а также
активность А через время t=6ч. Период полураспада
магния считать известной.
РЕШЕНИЕ. Активность А изотопа характеризует скорость радиоактивного распада и определяется отношением числа dN ядер, распавшихся за интервал времени dt, к этому интервалу:
.
(1)
Знак “” показывает, что число N радиоактивных ядер с течением времени убывает.
Для того чтобы найти ,
воспользуемся законом радиоактивного распада:
,
(2)
где N – число радиоактивных
ядер, содержащихся в изотопе, в момент времени t; число
радиоактивных ядер в момент времени, принятый за начальный (t=0);
λ – οостоянная радиационного распада.
Продифференцируем выражение (2) по времени:
.
(3)
Исключив из формул (1) и (3)
, находим
активность препарата в момент времени t:
.
(4)
Начальную активность
препарата получим при t=0:
.
(5)
Постоянная радиоактивного распада
λ связана с периодом полураспада
соотношением
.
(6)
Число
радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, равно произведению постоянной Авогадро
на количество
вещества v данного изотопа:
,
(7)
где m – масса изотопа, М – молярная масса.
С учетом выражений (6) и (7) формулы (5) и (4) принимают вид
,
(8)
. (9)
Произведем вычисления, учитывая,
что (см. прил.,
табл. 16);
:
.
.
ПРИМЕР 8. Расстояние d между
соседними атомами кристалла кальция (решетка кубическая гранецентрированная)
равно 0,393нм. Определить: 1) параметр, а решетки; 2) плотность
кристалла.
РЕШЕНИЕ. 1. Параметр, а решетки и расстояние d между ближайшими соседними атомами связаны простым геометрическим соотношением, ясным из рис. 38:
Рис.38
.
Произведем вычисления:
2. Плотность
кристалла связана с молярной массой М и молярным объемом
соотношением
.
(1)
Молярный объем
найдем как произведение объема
одной элементарной ячейки на число
элементарных ячеек, содержащихся в одном моле кристалла:
.
(2)
Учитывая, что число элементарных
ячеек для кристалла, состоящего из одинаковых атомов, можно найти, разделив
постоянную Авогадро
на число n атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку, равенство
(2) можно записать в виде
.
(3)
Подставив в (1) выражение
из (2), получим
.
Произведем вычисления, учитывая, что число n в случае кубической гранецентрированной решетки равно 4:
ПРИМЕР 9. Используя квантовую
теорию теплоемкости Эйнштейна, вычислить удельную теплоемкость с при постоянном
объеме алюминия при температуре Т=200К. Характеристическую температуру
Эйнштейна принять для алюминия равной 300К.
РЕШЕНИЕ. Удельная теплоемкость
с вещества может быть выражена через молярную теплоемкость
соотношением
,
(1)
где М – молярная масса.
Молярная теплоемкость при постоянном объеме по теории Эйнштейна выражается формулой
.
(2)
Подставив в (1) выражение теплоемкости
по формуле
(2), получим
.
(3)
Произведем вычисления:
.
ПРИМЕР 10. Определить теплоту
, необходимую
для нагревания кристалла NaCl массой m=20г от температуры
до температуры
.
Характеристическую температуру Дебая
для NaCl принять равной 320К и условие
считать выполненным.
РЕШЕНИЕ. Теплота ,
подводимая для нагревания тела от температуры
и
может быть
вычислена по формуле
,
(1)
где теплоемкость
тела.
Теплоемкость тела связана с молярной теплоемкостью соотношением
, (2)
Подставив выражение
в формулу (1), получим
.
(3)
В общем случае теплоемкость
есть сложная
функция температуры, поэтому выносить ее за знак интервала нельзя. Однако если
выполнено условие
,
то нахождение
облегчается тем, что можно воспользоваться предельным законом Дебая, в согласии
с которым теплоемкость пропорциональна кубу термодинамической температуры:
.
(4)
Подставляя молярную теплоемкость (4) в формулу (3), получим
.
Выполним интегрирование:
.
Переписав полученную формулу
,
Произведем вычисления:
ПРИМЕР 11. Вычислить максимальную
энергию (энергию
Ферми), которую могут иметь свободные электроны в металле (медь) при температуре
Т=0К. Принять, что на каждый атом меди приходиться по одному электрону.
РЕШЕНИЕ. Максимальная энергия
, которую
могут иметь электроны в металле при Т=0К, связана с концентрацией n
свободных электронов соотношением
,
(1)
где постоянная
Планка; m – масса электрона.
Концентрация свободных электронов по условию задачи равна концентрации атомов, которая может быть найдена по формуле
,
(2)
где плотность
меди;
постоянная
Авогадро; М – молярная масса.
Подставляя выражение n в формулу (1), получаем
.
Произведем вычисления:
ПРИМЕР 12. Удельная проводимость
примесного полупроводника,
имеющего решетку типа алмаз, равна 110См/м. Считая, что полупроводник обладает
только дырочной проводимостью, определить: 1) концентрацию
дырок; 2) подвижность
дырок. Постоянную Холла
принять равной
.
РЕШЕНИЕ. 1. Концентрация
дырок связана с постоянной Холла, которая для полупроводников с решеткой типа
алмаз, обладающих носителями только одного знака, выражается формулой
,
где е – элементарный заряд.
.
(1)
Произведем вычисления:
.
(2)
2. Удельная проводимость полупроводников выражается формулой
,
(3)
где
и
- концентрация
электронов и дырок;
и
- их подвижности.
При отсутствии электронной
проводимости первое слагаемое в скобках равно нулю и формула (3) принимает вид
, откуда
.
(4)
Подставим в (3) выражение
по формуле (1):
.
(5)
Произведем вычисления:
.
ПРИМЕР 13. Удельная магнитная
восприимчивость
газообразной окиси азота (NO) при нормальных условиях
.
Определить магнитный момент
молекулы NO в магнетонах Бора.
РЕШЕНИЕ. Магнитная восприимчивость
парамагнитных веществ выражается по теории Ланжевена (при )
формулой
,
где магнитная
постоянная; n – концентрация молекул;
магнитный
момент молекул; Т – термодинамическая температура; к – постоянная
Больцмана.
Из этой формулы
.
(1)
Входящая в выражение (1) магнитная
восприимчивость
связана с заданной в условии задачи удельной магнитной восприимчивостью
соотношением
,
(2)
где плотность
вещества.
Плотность газа в соответствии с уравнением Менделеева-Клапейрона может быть выражена формулой
.
(3)
Перепишем выражение (1) с учетом соотношений (2) и (3):
.
Выразив в этом равенстве молярную
газовую постоянную R через постоянную Авогадро ,
получим расчетную формулу для магнитного момента:
.
(4)
Произведем вычисления:
.
По условию задачи магнитный
момент следует выразить в магнетонах Бора. Так как
(см. прил., табл. 1), то