Физика
Раздел 6. Физика атомов и атомного ядра. Элементарные частицы. Основы квантовой механики. Физика твердого тела. назад оглавление

Основные формулы

Боровская теория

  • Момент импульса электрона (второй постулат Бора)

  • , или ,

    где m – масса электрона: скорость электрона на n-й орбите; радиус n-й стационарной орбиты; постоянная Планка; n – главное квантовое число (n=1,2,…).

  • Радиус n-й стационарной орбиты:

  • ,

    где радиус Бора.

  • Энергия электрона в атоме водорода:

  • ,

    где энергия ионизации атома водорода.

  • Энергия, излучаемая или поглощаемая атомом водорода:

  • ,

    или

    ,

    где и - квантовые числа, соответствующие энергетическим уровням, между которыми совершается переход электрона в атоме.

  • Спектроскопическое волновое число:

  • ,

    где длина волны изучения или поглощения атомом; R – постоянная Ридберга.

    Волновые свойства частиц

  • Длина волны де Бройля:

  • ,

    где p – импульс частицы.

  • Импульс частицы и его связь с кинетической энергией Т:

  • а) ;

    б) .

    где масса покоя частицы; m – релятивистская масса; скорость частицы; с – скорость света в вакууме; энергия покоя частицы ().

  • Соотношение неопределенностей:

  • а) (для координаты и импульса);

    где неопределенность проекции импульса на ось х; неопределенность координаты;

    б) (для энергии и времени),

    где неопределенность энергии; время жизни квантовой системы в данном энергетическом состоянии.

  • Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний:

  • ,

    где волновая функция, описывающая состояние частицы; m – масса частицы; Е – полная энергия; потенциальная энергия частицы.

  • Плотность вероятности:

  • ,

    где вероятность того, что частица может быть обнаружена вблизи точки с координатой х на участке dx.

  • Вероятность обнаружения частицы в интервале от до :

  • .

  • Решение уравнения Шредингера для одномерного, бесконечно глубокого, прямоугольного потенциального ящика:

  • а) (собственная нормированная волновая функция);

    б) (собственное значение энергии),

    где n – квантовое число (n=1,2,3,…); l – ширина ящика.

    В области и .

    Пространственная решетка кристалла:

  • Молярный объем кристалла:

  • ,

    где М – молярная масса; плотность кристалла.

  • Объем элементарной ячейки для решетки кубической сингонии:

  • ,

    где а – параметр решетки.

  • Число элементарных ячеек в одном моле кристалла:

  • ;

    если кристалл состоит из одинаковых атомов, то

    ,

    где n – число одинаковых атомов, приходящихся на элементарную ячейку; постоянная Авогадро.

  • Отношение числа элементарных ячеек к объему кристалла:

  • ;

    если кристалл состоит из одинаковых атомов, то

    .

  • Параметр кубической решетки из одинаковых атомов:

  • .

  • Расстояние между соседними атомами в кубической решетке:

  • а) (гранецентрированной);

    б) (объемно – центрированной).

    Теплоемкость кристалла

  • Средняя энергия квантового одномерного осциллятора:

  • ,

    где нулевая энергия (); постоянная Планка; круговая частота колебаний осциллятора; к – постоянная Больцмана; Т – термодинамическая температура.

  • Молярная внутренняя энергия системы, состоящей из невзаимодействующих квантовых осцилляторов:

  • ,

    где R – молярная газовая постоянная; характеристическая температура Эйнштейна; молярная нулевая энергия (по Эйнштейну).

  • Молярная теплоемкость кристаллического твердого тела по Дебаю:

  • ,

    где характеристическая температура Дебая ().

  • Молярная теплоемкость кристаллического твердого тела в области низких температур (предельный закон Дебая)

  • .

  • Теплота, необходимая для нагревания тела:

  • ,

    где m – масса тела; М – молярная масса; и начальная и конечная температура тела.

    Элементы квантовой статистики

  • Распределение свободных электронов в металле по энергиям при 0 К:

  • ,

    где концентрация электронов, энергии которых заключены в пределах от до ; m – масса электрона. Это выражение справедливо при (где энергия или уровень Ферми).

  • Энергия Ферми в металле при Т=0 К

  • ,

    где n – концентрация электронов в металле.

    Полупроводники

  • Удельная проводимость собственных полупроводников:

  • ,

    где е – элементарный заряд; n – концентрация носителей заряда (электронов и дырок); и - подвижности электронов и дырок.

  • Напряжение на гранях прямоугольного образца при эффекте Холла, холловская разность потенциалов:

  • ,

    где постоянная Холла; В – магнитная индукция; j – плотность тока; а – ширина пластины (образца).

  • Постоянная Холла для полупроводников типа алмаз, германий, кремний и др., обладающих носителями заряда одного вида (n или р):

  • ,

    где n – концентрация носителей заряда.

    Магнетики

  • Связь магнитной индукции В с напряженностью Н магнитного поля в изотропном магнетике:

  • ,

    где магнитная проницаемость среды; магнитная постоянная.

  • Намагниченность однородного изотропного магнетика:

  • ,

    где магнитный момент i-й молекулы (атома); N – число молекул в объеме V.

  • Молярная намагниченность однородного изотропного магнетика:

  • ,

    где m – масса магнетика; М – молярная масса; плотность магнетика.

  • Удельная намагниченность однородного изотропного магнетика:

  • ,

  • Магнитная восприимчивость однородного изотропного магнетика:

  • ,

    где Н – напряженность магнитного поля.

  • Молярная магнитная восприимчивость однородного изотропного магнетика:

  • .

  • Удельная магнитная восприимчивость однородного изотропного магнетика:

  • .

  • Связь магнитной восприимчивости с магнитной проницаемостью:

  • .

  • Намагниченность при насыщении в случае однородного изотропного магнетика:

  • ,

    где n – концентрация молекул атомов с магнитным моментом .

  • Магнитная восприимчивость парамагнитного однородного изотропного магнетика при условии :

  • ,

    где к – постоянная Больцмана; Т – термодинамическая температура.

  • Магнетон Бора:

  • .

    где масса электрона; .

  • Частота прецессии Лармора:

  • .

    где В – магнитная индукция.

    Атомное ядро. Радиоактивность

  • Массовое число ядра (число нуклонов в ядре):

  • ,

    где Z – зарядовое число (число протонов); N – число нейтронов.

  • Закон радиоактивного распада:

  • , или ,

    где dN – число ядер, распадающихся за интервал времени dt; N – число ядер, нераспавшихся к моменту времени t; число ядер в начальный момент (t=0); постоянная радиоактивного распада.

  • Число ядер, распавшихся за время t:

  • .

    В случае если интервал времени , за который определяется число распавшихся ядер, много меньше периода полураспада , то число распавшихся ядер можно определить по формуле

    .

  • Зависимость периода полураспада от постоянной радиоактивного распада:

  • .

  • Среднее время жизни радиоактивного ядра, т.е. интервал времени, за который число нераспавшихся ядер уменьшается в е раз:

  • .

  • Число N атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе:

  • ,

    где m – масса изотопа; М – молярная масса; постоянная Авогадро.

  • Активность А радиоактивного изотопа:

  • , или .

    где dN – число ядер, распадающихся за интервал времени dt; активность изотопа в начальный момент времени.

  • Удельная активность изотопа:

  • .

  • Дефект массы ядра:

  • ,

    где Z – зарядовое число (число протонов в ядре); А – массовое число (число нуклонов в ядре); число нейтронов в ядре; масса протона; масса нейтрона; масса ядра.

  • Энергия связи ядра:

  • ,

    где дефект массы ядра; с – скорость света в вакууме.

    Во внесистемных единицах энергия связи ядра , где дефект массы в а. е. м.; 931 – коэффициент пропорциональности (1 а. е. м. ~ 931 МэВ).

    ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

    ПРИМЕР 1. Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энергетического уровня на второй. Определить энергию испущенного при этом фотона.

    РЕШЕНИЕ. Для определения энергии фотона воспользуемся сериальной формулой для водородоподобных ионов:

    , (1)

    где λ – длина волны фотона; R – постоянная Ридберга; Z – заряд ядра в относительных единицах (при формула переходит в сериальную формулу для водорода); номер орбиты, на которую перешел электрон; номер орбиты, с которой перешел электрон ( и главные квантовые числа).

    Энергия фотона выражается формулой

    .

    Поэтому, умножив обе части равенства (1) на hc, получим выражение для энергии фотона:

    .

    Так как Rhc есть энергия ионизации атома водорода, то

    .

    Вычисления выполним во внесистемных единицах: (см. прил., табл.1);

    .

    ПРИМЕР 2. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля λ для двух случаев: 1) ; 2) .

    РЕШЕНИЕ. Длина волны де Бройля для частицы зависит от ее импульса р и определяется формулой

    , (1)

    где h – постоянная Планка.

    Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия Т. Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше ее покоя) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы).

    В нерелятивистском случае

    , (2)

    где масса покоя частицы.

    В релятивистском случае

    , (3)

    где энергия покоя частицы.

    Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) запишется:

    В нерелятивистском случае

    , (4)

    в релятивистском случае

    . (5)

    Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов и , с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую из формул (4) и (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.

    Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U,

    .

    В первом случае , что много меньше энергии покоя электрона . Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения расчетов заметим, что . Подставив это выражение в формулу (4), перепишем ее в виде

    .

    Учитывая, что есть комптоновская длина волны , получаем

    .

    Так как (см. табл. 1), то

    .

    Во втором случае кинетическая энергия , т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (5). Учитывая, что , по формуле (5) находим

    ,

    или

    .

    Подставим значение и произведем вычисления:

    .

    ПРИМЕР 3. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка . Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные линейные размеры атома.

    РЕШЕНИЕ. Соотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет вид

    ,

    где неопределенность координаты частицы (в данном случае электрона); неопределенность импульса частицы (электрона); постоянная Планка h, деленная на .

    Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а, следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью

    . (1)

    Соотношение неопределенностей (1) можно записать в этом случае в виде

    ,

    откуда

    . (2)

    Физически разумная неопределенность импульса во всяком случае не должна превышать значения самого р, т.е. . Импульс р связан с кинетической энергией Т соотношением . Заменим значением (такая замена не увеличит l). Переходя от неравенства к равенству, получим

    .

    Проверим, дает ли полученная формула единицу длины. Для этого в правую часть формулы (3) вместо символов величин подставим обозначения их единиц:

    .

    Найденная единица является единицей длины.

    Произведем вычисления:

    .

    ПРИМЕР 4. Волновая функция описывает основное состояние частицы в бесконечно прямоугольном ящике ширина l. Вычислить вероятность нахождения частицы в малом интервале в двух случаях: 1) вблизи стенки (); 2) в средней части ящика .

    РЕШЕНИЕ. Вероятность того, что частица будет обнаружена в интервале dx (от x до x+dx), пропорциональна этому интервалу и квадрату модуля волновой функции, описывающей данное состояние, равна

    .

    В первом случае искомая вероятность найдется интегрированием в пределах от 0 до 0,01l (рис. 37):

     Рис.37

    . (1)

    Знак модуля опущен, так как функция в данном случае не является комплексной.

    Так как x изменяется в интервале и, следовательно, , справедливо приближенное равенство

    .

    С учетом этого выражения (1) примет вид

    .

    После интегрирования получим

    .

    Во втором случае можно обойтись без интегрирования, так как квадрат модуля волновой функции вблизи ее максимума в заданном малом интервале практически не изменяется. Искомая вероятность во втором случае определяется выражением

    ,

    или

    .

    ПРИМЕР 5. Вычислить дефект массы и энергии связи ядра .

    РЕШЕНИЕ. Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных (находящихся вне ядра) протонов и нейтронов, из которых ядро образовалось. Дефект массы ядра и есть разность между суммой масс свободных нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра, т.е.

    , (1)

    где Z – атомный номер (число протонов в ядре); А – массовое число (число нуклонов, составляющих ядро); соответственно массы протона, нейтрона и ядра.

    В справочных таблицах всегда даются массы нейтральных атомов, но не ядер, поэтому формулу (1) целесообразно преобразовать так, чтобы в нее входила масса нейтрального атома. Можно считать, что масса нейтрального атома равна сумме масс ядра и электронов, составляющих электронную оболочку атома: , откуда

    . (2)

    Выразив в равенстве (1) массу ядра по формуле (2), получаем , или

    .

    Замечая, что , масса атома водорода, окончательно находим

    . (3)

    Подставив в выражение (3) числовые значения масс (см. прил., табл. 15 и 17), получим

    В соответствии с законом пропорциональности массы и энергии

    , (3)

    где с – скорость света в вакууме.

    Коэффициент пропорциональности может быть выражен двояко:

    или .

    Если вычислить энергию связи, пользуясь внесистемными единицами, то С учетом этого формула (3) примет вид

    . (4)

    Подставив найденное значение дефекта массы ядра в формулу (4), получим

    .

    Примечание. Термин “дефект массы” часто применяется в другом смысле: дефектом массы называют разность между массой нейтрального атома данного изотопа и его массовым числом .Эта величина особого физического смысла не имеет, но ее использование позволит в ряде случаев значительно упростить вычисления. В настоящем пособии всюду имеется в виду дефект массы , определяемый формулой (1).

    ПРИМЕР 6. При соударении частицы с ядром бора произошла ядерная реакция, в результате которой образовалось два новых ядра. Одним из этих ядер было ядро атома водорода . Определить порядковый номер и массовое число второго ядра, дать символическую запись ядерной реакции и определить ее энергетический эффект.

    РЕШЕНИЕ. Обозначим неизвестное ядра символом . Так как частица представляет собой ядро гелия , запись реакции имеет вид

    Применив закон сохранения числа нуклонов, получим уравнение , откуда А=13. Применив закон сохранения заряда, получим уравнение , откуда Z=6. Следовательно, неизвестное ядро является ядром атома изотопа углерода .

    Теперь можем записать реакцию в окончательном виде:

    Энергетический эффект Q ядерной реакции определяется по формуле

    .

    Здесь в первых круглых скобках указаны массы исходных ядер, во вторых скобках – массы ядер – продуктов реакции. При числовых подсчетах по этой формуле массы ядер занимают массы нейтральных атомов. Возможность такой замены вытекает из следующий соображений.

    Число электронов в электронной оболочке нейтрального атома равно его зарядовому числу Z. Сумма зарядовых чисел исходных ядер равна сумме зарядовых чисел ядер – продуктов реакции. Следовательно, электронные оболочки ядер гелия и бора содержат вместе столько же электронов, сколько их содержат электронные оболочки ядер углерода и водорода.

    Очевидно, что при вычитании суммы масс нейтральных атомов углерода и водорода из суммы масс атомов гелия и бора массы электронов выпадут, и мы получим тот же результат, как если бы брали массы ядер. Подставив массы атомов (см. прил., табл. 15) в расчетную формулу, получим

    .

    ПРИМЕР 7. Определить начальную активность радиоактивного препарата магния массой , а также активность А через время t=6ч. Период полураспада магния считать известной.

    РЕШЕНИЕ. Активность А изотопа характеризует скорость радиоактивного распада и определяется отношением числа dN ядер, распавшихся за интервал времени dt, к этому интервалу:

    . (1)

    Знак “” показывает, что число N радиоактивных ядер с течением времени убывает.

    Для того чтобы найти , воспользуемся законом радиоактивного распада:

    , (2)

    где N – число радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, в момент времени t; число радиоактивных ядер в момент времени, принятый за начальный (t=0); λ – οостоянная радиационного распада.

    Продифференцируем выражение (2) по времени:

    . (3)

    Исключив из формул (1) и (3) , находим активность препарата в момент времени t:

    . (4)

    Начальную активность препарата получим при t=0:

    . (5)

    Постоянная радиоактивного распада λ связана с периодом полураспада соотношением

    . (6)

    Число радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, равно произведению постоянной Авогадро на количество вещества v данного изотопа:

    , (7)

    где m – масса изотопа, М – молярная масса.

    С учетом выражений (6) и (7) формулы (5) и (4) принимают вид

    , (8) . (9)

    Произведем вычисления, учитывая, что (см. прил., табл. 16); :

    .

    .

    ПРИМЕР 8. Расстояние d между соседними атомами кристалла кальция (решетка кубическая гранецентрированная) равно 0,393нм. Определить: 1) параметр, а решетки; 2) плотность кристалла.

    РЕШЕНИЕ. 1. Параметр, а решетки и расстояние d между ближайшими соседними атомами связаны простым геометрическим соотношением, ясным из рис. 38:

     Рис.38

    .

    Произведем вычисления:

    2. Плотность кристалла связана с молярной массой М и молярным объемом соотношением

    . (1)

    Молярный объем найдем как произведение объема одной элементарной ячейки на число элементарных ячеек, содержащихся в одном моле кристалла:

    . (2)

    Учитывая, что число элементарных ячеек для кристалла, состоящего из одинаковых атомов, можно найти, разделив постоянную Авогадро на число n атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку, равенство (2) можно записать в виде

    . (3)

    Подставив в (1) выражение из (2), получим

    .

    Произведем вычисления, учитывая, что число n в случае кубической гранецентрированной решетки равно 4:

    ПРИМЕР 9. Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштейна, вычислить удельную теплоемкость с при постоянном объеме алюминия при температуре Т=200К. Характеристическую температуру Эйнштейна принять для алюминия равной 300К.

    РЕШЕНИЕ. Удельная теплоемкость с вещества может быть выражена через молярную теплоемкость соотношением

    , (1)

    где М – молярная масса.

    Молярная теплоемкость при постоянном объеме по теории Эйнштейна выражается формулой

    . (2)

    Подставив в (1) выражение теплоемкости по формуле (2), получим

    . (3)

    Произведем вычисления:

    .

    ПРИМЕР 10. Определить теплоту , необходимую для нагревания кристалла NaCl массой m=20г от температуры до температуры . Характеристическую температуру Дебая для NaCl принять равной 320К и условие считать выполненным.

    РЕШЕНИЕ. Теплота , подводимая для нагревания тела от температуры и может быть вычислена по формуле

    , (1)

    где теплоемкость тела.

    Теплоемкость тела связана с молярной теплоемкостью соотношением

    , (2)

    Подставив выражение в формулу (1), получим

    . (3)

    В общем случае теплоемкость есть сложная функция температуры, поэтому выносить ее за знак интервала нельзя. Однако если выполнено условие , то нахождение облегчается тем, что можно воспользоваться предельным законом Дебая, в согласии с которым теплоемкость пропорциональна кубу термодинамической температуры:

    . (4)

    Подставляя молярную теплоемкость (4) в формулу (3), получим

    .

    Выполним интегрирование:

    .

    Переписав полученную формулу

    ,

    Произведем вычисления:

    ПРИМЕР 11. Вычислить максимальную энергию (энергию Ферми), которую могут иметь свободные электроны в металле (медь) при температуре Т=0К. Принять, что на каждый атом меди приходиться по одному электрону.

    РЕШЕНИЕ. Максимальная энергия , которую могут иметь электроны в металле при Т=0К, связана с концентрацией n свободных электронов соотношением

    , (1)

    где постоянная Планка; m – масса электрона.

    Концентрация свободных электронов по условию задачи равна концентрации атомов, которая может быть найдена по формуле

    , (2)

    где плотность меди; постоянная Авогадро; М – молярная масса.

    Подставляя выражение n в формулу (1), получаем

    .

    Произведем вычисления:

    ПРИМЕР 12. Удельная проводимость примесного полупроводника, имеющего решетку типа алмаз, равна 110См/м. Считая, что полупроводник обладает только дырочной проводимостью, определить: 1) концентрацию дырок; 2) подвижность дырок. Постоянную Холла принять равной .

    РЕШЕНИЕ. 1. Концентрация дырок связана с постоянной Холла, которая для полупроводников с решеткой типа алмаз, обладающих носителями только одного знака, выражается формулой , где е – элементарный заряд.

    . (1)

    Произведем вычисления:

    . (2)

    2. Удельная проводимость полупроводников выражается формулой

    , (3)

    где и - концентрация электронов и дырок; и - их подвижности.

    При отсутствии электронной проводимости первое слагаемое в скобках равно нулю и формула (3) принимает вид , откуда

    . (4)

    Подставим в (3) выражение по формуле (1):

    . (5)

    Произведем вычисления:

    .

    ПРИМЕР 13. Удельная магнитная восприимчивость газообразной окиси азота (NO) при нормальных условиях . Определить магнитный момент молекулы NO в магнетонах Бора.

    РЕШЕНИЕ. Магнитная восприимчивость парамагнитных веществ выражается по теории Ланжевена (при ) формулой

    ,

    где магнитная постоянная; n – концентрация молекул; магнитный момент молекул; Т – термодинамическая температура; к – постоянная Больцмана.

    Из этой формулы

    . (1)

    Входящая в выражение (1) магнитная восприимчивость связана с заданной в условии задачи удельной магнитной восприимчивостью соотношением

    , (2)

    где плотность вещества.

    Плотность газа в соответствии с уравнением Менделеева-Клапейрона может быть выражена формулой

    . (3)

    Перепишем выражение (1) с учетом соотношений (2) и (3):

    .

    Выразив в этом равенстве молярную газовую постоянную R через постоянную Авогадро , получим расчетную формулу для магнитного момента:

    . (4)

    Произведем вычисления:

    .

    По условию задачи магнитный момент следует выразить в магнетонах Бора. Так как (см. прил., табл. 1), то


    назад | оглавление