Теория электрических цепей   
ГЛАВА 10. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ В РЕЖИМЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА
назад оглавление вперед

10.6. Аналитические методы расчета нелинейных
резистивных цепей

Составление уравнений состояния цепи на основании законов Кирхгофа. Из предыдущих разделов известно, что в общем случае, когда цепь содержит nв ветвей (в том числе nт источников тока) и nу узлов, число неизвестных токов (напряжений) равно (см. § 1.4) nвnу + 1 – nт. Для отыскания такого числа неизвестных состав­ляется система уравнений по законам Кирхгофа.

По первому закону Кирхгофа (ЗТК) записы­вается nу 1 уравнений вида (1.16):

 

где m число ветвей, сходящихся в узле.

По второму закону Кирхгофа (ЗНК) записывается nвnу + 1 уравнений вида (1.17):

 

где п—число ветвей, входящих в контур.

Если цепь содержит, кроме линейных, также и НЭ, то в си­стеме уравнений, описывающей состояние цепи, появятся уравне­ния вида ik = Fk(uk). Методика составления уравнений состояния цепи на основе законов Кирхгофа остается такой же, как и в слу­чае линейных резистивных цепей (см. гл. 2, 3).

Составим, например, систему уравнений состояния для цепи, схема которой изображена на рис. 10.13. Пусть ВАХ нелинейного элемента аппроксимируется выражением

 

Зададимся положительными направлениями напряжений и то­ков. Цепь содержит один независимый контур (I) и один незави­симый узел (1). Уравнения, записанные по ЗТК и ЗНК, имеют сле­дующий вид:

 

 

К этим уравнениям дописываем уравнение (10.14). Неизвест­ными в данной системе уравнений являются напряжение Uн и токи I1 и Iн. Всего три неизвестных. Для их отыскания составлено три уравнения. Как видим, процесс составления системы уравне­ний такой же, как и в случае линейной цепи. Однако процесс ре­шения полученной системы, которая содержит нелинейное уравне­ние, может существенно затрудниться. Для большинства относи­тельно сложных цепей аналитического решения системы уравнений может и не существовать. Тогда приходится прибегать к числен­ным методам решения.

В рассматриваемом примере достаточно просто получить аналитическое ре­шение. Предположим вначале, что решение системы уравнений существует при Uн > 0. Тогда уравнение НЭ имеет вид

 

Выразим из уравнения (10.15) ток I1 = IнJ02 и подставим его в уравнение (10.16). В результате этой операции получим

 

Подставив в (10.18) выражение (10.17), получим уравнение относительно неиз­вестного напряжения на нелинейном двухполюснике

 

Отсюда имеем

Подпись:  
Рис. 10.34
 

Пусть R1 = l кОм, U01 = 14 В, J02 = 10 мА, a = 10–5 А/В. Тогда Uн = 20 В.

Второе решение уравнения (10.19) даст Uн < 0. Это решение не подходит, так как применялось уравнение НЭ, справедливое при Uн > 0.

Допустим теперь существование решения системы уравнений (10.15)— (10.16) при Uн < 0. Согласно уравнению НЭ (10.14) Iн = 0. Тогда из уравнения (10.18) имеем

 

а это противоречит условию, что Uн < 0.

Таким образом, остается первое решение (10.20). Найдем остальные неизве­стные. Из (10.17) имеем , а из (10.15) I1 = Iн – – J02 = —6 мА.

В данном примере получено аналитическое решение системы нелинейных уравнений. Если бы ВАХ нелинейного элемента описывалась более сложной функцией, то этого достичь не удалось бы.

Составление уравнений состояния цепи методом узловых на­пряжений (потенциалов). Как известно, переменными в методе уз­ловых напряжений являются напряжения nу – 1 узлов по отноше­нию к базисному узлу.

Рассмотрим в качестве примера схему, изображенную на рис. 10.34. Пусть ВАХ нелинейных элементов описываются выра­жениями I = aU3 для элемента НЭ1 и I = bU2 для элемента НЭ2. В схеме имеется зависимый источник (ИТУТ) с током I5 = HiI1.

Приняв узел 4 за базисный, имеем три независимых узла: 1, 2 и 3. Токи ветвей выражаются через узловые напряжения U1, U2 и U3 следующим образом:

 

Составим уравнения для узлов 1, 2 и 3 по ЗТК:

Подставив в эти уравнения зна­чения токов из (10.21), получим

 

Уравнения узловых напряжений получены в виде системы трех нелинейных уравнений с тремя неизвестными узловыми напряже­ниями. Можно уменьшить число уравнений, если из первого урав­нения выразить U2 через U1 и U3 и исключить его из двух осталь­ных уравнений. В результате получим систему двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными напряжениями узлов 1 и 3.

Решить данную систему уравнений можно одним из численных методов (например, известным из математики методом Ньютона— Рафсона). Определив узловые напряжения, можно вычислить токи и напряжения ветвей.

Аналитические методы нахождения рабочей точки. Задача о нахождении рабочей точки может решаться и аналитическими методами, если зависимость I(U) нелинейного резистивного элемента задана аналитически. Она сводится к решению нелинейного уравнения

   

относительно напряжения U =U0 в рабочей точке резистора. Так например, в цепи с идеализированным выпрямительным диодом, у которого , где I0 и jT – некоторые постоянные, задача нахождения рабочей точки приводит к решению трансцендентного уравнения  относительно неизвестного напряжения U = U0 с последующим нахождением тока I0 = (Е—U0)/R в рабочей точке диода.

Если вольт-амперная характеристика нелинейного резистора аппроксимирована полиномом I = a1U + a2U2 + ... + anUn, то уравнение (10.23) будет представлять собой алгебраическое урав­нение степени п относительно искомого напряжения в рабочей точке и, как известно, в общем случае может быть решено лишь численно, если n > 4.

В заключение следует подчеркнуть, что нелинейный характер взаимозависимостей между реакциями и воздействием в анализируемых цепях обусловливает неприменимость к ним в общем случае принципа наложения, лежащего в основе высокоэффективных методов анализа и синтеза линейных электрических цепей. По этой же причине только в редких случаях удается найти решение задач анализа колебаний в аналитической форме, даже в таких простейших нелинейных цепях, как нелинейные резистивные цепи.


назад оглавление вперед