Теория электрических цепей |
Тема 6. Переходные процессы в линейных электрических цепях. |
назад | оглавление | вперёд |
6.4. Переходные процессы в цепях второго порядка
Ранее рассматривались переходные процессы в RL- и RС-цепях, которые относятся к цепям первого порядка, так как описываются дифференциальными уравнениями первого порядка (6.11), (6.23). При наличии в цепи двух независимых накопителей энергии переходные процессы в них описываются уравнением второго порядка. Простейшим примером такой цепи является последовательный колебательный контур (рис. 6.11). Для этого контура можно по аналогии с RL- и RС-цепью составить дифференциальное уравнение второго порядка, выбрав в качестве независимой переменной напряжение на емкости Учитывая, что i = CduC/dt окончательно получаем Решение дифференциального уравнения (6.37) ищется согласно (6.5) в форме суммы свободной uCсв и принужденной uCпр составляющих: Вид uCпр зависит от характера приложенного напряжения, а uCсв определится решением однородного дифференциального уравнения второго порядка: Решение уравнения (6.39) зависит от вида корней характеристического уравнения Корни уравнения (6.40) определяются только параметрами цепи независимо от выбранной переменной: Величина a = R/2L носит название коэффициента затухания контура, а Характер переходного процесса существенным образом зависит от вида корней р1, р2, которые могут быть: Здесь Разряд емкости на RL-цепь. Для исследования характера переходного процесса во всех этих случаях рассмотрим разряд емкости С на цепь RL (см. рис. 6.11). Так как до коммутации емкость С была заряжена до напряжения U, то имеем ненулевые начальные условия: После коммутации (переключение ключа К из положения 1 в положение 2 емкость начнет разряжаться и в цепи возникнет свободный переходный процесс. Найдем закон изменения тока и напряжений на отдельных элементах цепи для случая 1)—3). В первом случае, когда R > 2 Постоянные A1 и A2 можно найти из начальных условий для uC(0–) = U и i(0–) = 0 (при t = 0–) и законов коммутации (6.1), (6.2): Из решения системы уравнение (6.45) В результате получаем уравнения для напряжения UC и тока i: Закон изменения напряжения на индуктивности определяется при этом уравнением Из уравнений (6.46)—(6.48) следует, что каждая из найденных величин uC, i, uL состоит из двух слагаемых, затухающих по экспоненте с коэффициентами p1 < 0 и p2 < 0. На рис. 6.12 показан характер зависимостей (6.46)—(6.48). Момент времени t1, соответствующий точке перегиба uC, максимуму | i | и нулевому значению uL определяется из решения уравнения di / dt = 0, а момент t2 из решения уравнения duL / dt = 0: Анализ полученных кривых показывает, что в рассматриваемом случае происходит апериодический разряд емкости С, причем в интервале от 0 до t1 энергия WC расходуется на покрытие тепловых потерь в резистивном сопротивлении R и создание магнитного поля в индуктивности ( pC = uC i < 0; pL = uL i > 0). В дальнейшем (при t > t1) как энергия электрического поля емкости WC, так и запасенная к моменту t = t1 магнитная энергия индуктивности WL расходуется на покрытие тепловых потерь в сопротивлении R. Отрицательное значение тока свидетельствует о противоположном направлении тока разряда относительно опорного направления. Во втором случае при R < 2 Постоянные A и Отсюда Окончательно уравнения для uC, i и и принимают вид ![]() Полученные уравнения показывают, что в данном случае имеет место колебательный разряд емкости с частотой На практике чаще используется логарифмический декремент затухания Из уравнений (6.57) и (6.58) следует, что затухание тем больше, чем больше R. При R = 2 Третий случай R = 2 Ток определяется уравнением Отсюда А2 = aU. Окончательные выражения для напряжения и тока принимают вид По своей форме графики зависимостей (6.61)—(6.63) аналогичны кривым, изображенным на рис. 6.12 с той лишь разницей, что их скорость изменения больше, чем при R > 2 |
назад | оглавление | вперёд