Теория электрических цепей |
Тема 6. Переходные процессы в линейных электрических цепях. |
назад | оглавление | вперёд |
6.3. Переходные процессы в цепях первого порядка
Рассмотрим применение классического метода к расчету переходных процессов в цепях первого порядка. Это цепи, содержащие только однотипные реактивные элементы (емкости или индуктивности), процессы, в которых описываются дифференциальными уравнениями первого порядка Примером цепей первого порядка являются простейшие RL и RC цепи. Переходные процессы в RL-цепях. Рассмотрим включение RL-цепи к источнику напряжения u(t) (рис. 6.1). Из рис. 6.1 следует, что до коммутации ключ К разомкнут, поэтому ток iL(0–) = 0 и цепь находится при нулевых начальных условиях. В момент t = 0 ключом К замыкаем (осуществим коммутацию) цепь, подключив ее к источнику напряжения u(t). После замыкания ключа К в цепи начнется переходный процесс. Для его математического описания выберем в качестве независимой переменной iL = i и составим относительно нее дифференциальное уравнение по ЗНК: Уравнение (6.11) относится к линейным неоднородным дифференциальным уравнениям первого порядка типа (6.3), решение которого можно записать согласно (6.5) в форме Свободная составляющая тока iсв есть общее решение однородного дифференциального уравнения Отсюда p = —R/L. Величина 1/|р| носит название постоянной времени цепи. В неразветвленной RL-цепи Принужденная составляющая iпp может быть определена как частное решение уравнения (6.11). Однако, как было указано выше, iпp можно найти более просто методами расчета установившегося режима цепи. Рассмотрим два частных случая: В первом случае принужденная составляющая может быть определена из установившегося режима: iпp = U/R. Для нахождения постоянной интегрирования A перепишем (6.12) в форме i = Ае–t / Отсюда А = —U/R. Таким образом, закон изменения тока в RL-цепи определяется уравнением Напряжение на индуктивности согласно (1.9)
Анализ полученных результатов показывает, что при нулевых начальных условиях в момент t = 0+ индуктивность ведет себя как бесконечно большое сопротивление (разрыв цепи), а при t = Для второго случая принужденная составляющая тока согласно §3.6 Откуда На рис. 6.3 изображена временная зависимость тока (6.18). Напряжение на индуктивности Анализ уравнения (6.18) показывает, что в случае подключения цепи к источнику u(t) в момент, когда В качестве второго примера расчета рассмотрим случай ненулевых начальных условий в RL-цепи (рис. 6.4). К моменту коммутации в данной цепи была запасена энергия магнитного поля, равная WL = Li2(0– )/2, где i(0– ) = U/(R0 + R). После коммутации в RL-цепи возникает переходный процесс, описываемый уравнением: Постоянную А находим из начального условия i(0– ) и закона коммутации (6.1):
Окончательно закон изменения тока в переходном режиме описывается уравнением Напряжение uL определяется как На рис. 6.5 изображены графики i и uL. Следует отметить, что вся энергия WL, запасенная в индуктивности с течением времени, расходуется на тепловые потери в R. При ненулевых начальных условиях L ведет себя как источник тока. Переходные процессы в RС-цепях. При расчете переходных процессов в RС-цепях в качестве независимой переменной выбирают uC. Затем также составляют дифференциальное уравнение для заданной RС-цепи, решение которого с учетом начальных условий для uC(0) и определяет закон изменения напряжения на емкости. Рассмотрим вначале RC-цепь при нулевых начальных условиях (рис. 6.6), которая подключается в момент t = 0 к источнику постоянного и(t) = U или синусоидального и(t) = Umsin( Свободная составляющая является решением однородного дифференциального уравнения Величина RC носит название постоянной времени RC-цепи и обозначается через Определим принужденную составляющую uC пp для случая, когда u(t) = U = const. Из рис. 6.6 следует, что в установившемся режиме uC пp = U. Следовательно, с учетом (6.24) и (6.26) уравнение для иC примет вид иC = Ae–t / Ток в цепи определяется согласно (1.12): На рис. 6.7 изображены графические зависимости uС(t) и i(t). Анализ полученных результатов показывает, что в момент t = 0+ емкость С (при нулевых начальных условиях) ведет себя как короткозамкнутый участок. Напротив, при t = Рассмотрим случай гармонического воздействия. Нетрудно видеть что при этом Постоянная А находится из начальных условий для uC(0+) при t = 0+: Окончательно закон изменения напряжения На рис. 6.8 изображен график зависимости uC(t). Анализ уравнения (6.31) показывает, что в случае неудачного включения при
Ток в цепи Рассмотрим теперь случай ненулевых начальных условий, когда емкость С, заряженная до напряжения U, разряжается на сопротивление R (рис. 6.9). К моменту коммутации в емкости была запасена энергия WC = CU2/2. После коммутации возникает переходный процесс, определяемый уравнением Постоянную интегрирования А находим из начального условия для uC(0+) = U и закона коммутации (6.2): Таким образом, получаем закон изменения напряжения на емкости Знак "–" в уравнении (6.36) для тока свидетельствует о том, что ток разряда направлен противоположно опорному направлению напряжения иС в емкости (см. § 1.2). На рис. 6.10 приведены графики изменения напряжения иС(t) и тока i(t) данной RС-цепи. Следует подчеркнуть, что вся запасенная энергия WC емкости с течением времени преобразуется в элементе R в тепло. При ненулевых начальных условиях С ведет себя как источник напряжения. |
назад | оглавление | вперёд