Теория электрических цепей

Электротехника, электроника и схемотехника (часть 1)

Тема 5. Линейные электрические цепи в режиме периодических негармонических воздействий | оглавление | вперёд |

5.1. Негармонические периодические сигналы

При передаче информации по каналам связи в процессе преобразования сигналов в различных устройствах, как правило, используют негармонические колебания, поскольку чисто гармонические колебания не могут являться носителями информации. Для передачи сообщений осуществляют модуляцию гармонического колебания по амплитуде – амплитудная модуляция (AM), частоте – частотная модуляция (ЧМ) или фазе – фазовая модуляция (ФМ), либо используют импульсные сигналы, модулируемые по амплитуде – амплитудно-импульсная модуляция (АИМ), ширине – широтно-импульсная модуляция (ШИМ), временному положению – время-импульсная модуляция (ВИМ). Существуют и другие, более сложные сигналы, формируемые по специальным законам. Отличительной чертой указанных сигналов является сложный негармонический характер. Несинусоидальный вид имеют токи и напряжения, формируемые в различных импульсных и цифровых устройствах (гл. 19), несинусоидальный характер приобретают гармонические сигналы, проходящие через различные нелинейные устройства (гл. 11) и т. д. Все это приводит к необходимости разработки специальных методов анализа и синтеза электрических цепей, находящихся под воздействием периодических несинусоидальных и непериодических токов и напряжений. В основе этих методов лежат спектральные представления несинусоидальных воздействий, базирующиеся на разложении в ряд или интеграл Фурье.

Из математического анализа известно, что периодическая негармоническая функция f(t), удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в ряд Фурье:
(5.1)
где ak, bk — коэффициенты разложения, определяемые уравнениями
(5.2)

Величина представляет среднее за период значение функции f(t) и называется постоянной составляющей.

В теоретических исследованиях обычно вместо формулы (5.1) используют другую, основанную на замене независимой переменной :
(5.3)
где
(5.4)

Уравнение (5.3) есть тригонометрическая форма ряда Фурье. При анализе цепей часто удобней пользоваться комплексной формой ряда Фурье, которая может быть получена из (5.3) с помощью формул Эйлера:
(5.5)

Подставив (5.5) в уравнение (5.3), после несложных преобразований получим комплексную форму ряда Фурье:
(5.6)
где Ak — комплексная амплитуда k-й гармоники:
(5.7)
где – амплитуда; – начальная фаза k-й гармоники.

Подставив значения ak и bk из (5.4) в (5.7), получим:
(5.8)

Совокупность амплитуд 0,5Аk = 0,5А–k в разложении (5.6), отложенных против соответствующих положительных и отрицательных частот, образует симметричный относительно оси координат (вследствие четности коэффициентов аk) линейчатый амплитудный спектр.

Совокупность ординат k = ––k из (5.7), входящих в разложение (5.6) и отложенных против соответствующих положительных и отрицательных частот, образует симметричный относительно начала оси координат (вследствие нечетности коэффициентов bk) линейчатый фазовый спектр.

Разложение (5.3) можно представить и в другой форме. Если учесть, что аk = Аkcos k и bk = Аksin k, то после подстановки в (5.3) получим:
(5.9)

Если рассматривать постоянную составляющую a0/2 как нулевую гармонику с начальной фазой 0 = 0, то разложение (5.9) примет вид
(5.10)

В частном случае, когда функция f(a) симметрична относительно оси ординат (рис. 5.1, а), в разложении (5.3) окажутся только четные (косинусоидальные) гармоники:
(5.11)

а при симметричности f(a) относительно начала координат (рис. 5.1, б) нечетные гармоники
(5.12)

При сдвиге начала отсчета функции f(a) ее амплитудный спектр не изменяется, а меняется только фазовый спектр. Действительно, сдвинем функцию f(a ) по оси времени влево на t0 и обозначим .

Тогда разложение (5.9) примет вид
(5.13)

Пример. Разложить в ряд Фурье прямоугольные колебания (рис. 5.1, б). Учитывая, что f(a) симметрична относительно начала координат в разложении (5.3) останутся только синусоидальные гармоники (5.12), где bk определится согласно (5.4):
Подставив bk в (5.12), получим разложение в ряд Фурье:
(5.14)
Далее сдвинем f(a) на p/2 влево (см. рис. 5.1, а). Тогда согласно (5.13) получим
(5.15)
т. е. получили разложение по косинусоидальным составляющим как и должно быть для симметричного относительно оси ординат сигнала.

В ряде случаев, когда периодичная функция f(a) задана графически и имеет сложную форму, ее разложение в ряд Фурье можно осуществить графо-аналитическим способом. Его суть заключается в том, что период сигнала Т (рис. 5.2) разбивают на m интервалов, равных , причем точки разрыва f(a) не должны попадать на середину участков разбиения; определяют значение сигнала f(an) в середине каждого участка разбиения.

Находят коэффициенты разложения аk и bk путем замены интеграла в (5.2) конечной суммой
(5.16)

Уравнение (5.16) легко программируется и при вычислении аk и bk, может использоваться ЭВМ.

оглавление | вперёд