Теория электрических цепей

Электротехника, электроника и схемотехника (часть 1)

Тема 16. Проблема синтеза линейных электрических цепей | назад | оглавление | вперёд |

16.2. Условия физической реализуемости

Синтез электрических цепей можно выполнить во временнoй области, когда требования задаются к переходной или импульсной характеристике, и в частотной области, когда требования задаются к амплитудно-частотной характеристике (АЧХ) и ФЧХ цепи. При этом требования часто задаются только к АЧХ цепи, а ФЧХ не контролируется. Очевидно, не любая вещественная функция может быть реализована в виде временнoй характеристики цепи и не любая комплексная функция может быть реализована в виде входной или передаточной функции.

Условия, при выполнении которых заданная функция может быть реализована как характеристика цепи, называются условиями физической реализуемости (УФР). Данные условия зависят от того, из каких элементов предполагается синтезировать цепь, т. е. УФР зависят от элементного базиса. Ниже будут рассматриваться линейные активные и пассивные RLC-цепи с сосредоточенными и независящими от времени параметрами. Рассмотрим УФР данных цепей.

Условия физической реализуемости передаточных функций. В гл. 7 показано, что входные или передаточные функции являются дробно-рациональными функциями с вещественными коэффициентами (7.41):

Для того, чтобы дробно-рациональная функция с вещественными коэффициентами являлась с точностью до постоянного множителя передаточной функцией четырехполюсника, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условиям, описанным в § 7.4:
1) полином знаменателя должен быть полиномом Гурвица;
2) степень полинома числителя не должна превышать степени полинома знаменателя.

В терминах нулей и полюсов эти два условия могут быть сформулированы следующим образом:
1) полюсы передаточной функции должны находиться в левой полуплоскости;
2) отсутствуют полюсы в нуле и бесконечности.

На положение нулей никаких ограничений не накладывается. Эти два условия определяют условия устойчивой цепи.

Если некоторая дробно-рациональная функция удовлетворяет приведенным условиям, то говорят, что она удовлетворяет условиям физической реализуемости.

Структура четырехполюсника может накладывать дополнительные ограничения. Так часто представляют интерес четырехполюсники, не содержащие взаимных индуктивностей и имеющие общий провод между входным и выходным зажимами, т. е. трехполюсники или неуравновешенные четырехолюсники. Такие цепи должны дополнительно удовлетворять условиям Фиалкова—Герста, формулируемым следующим образом: для трехполюсных цепей без взаимной индуктивности коэффициенты числителя передаточной функции не отрицательны и не превышают соответствующих коэффициентов знаменателя. Это означает, что отсутствуют нули на положительной вещественной полуоси.

Дальнейшие ограничения, накладываемые на структуру четырехполюсника, приводят к дополнительным ограничениям на положение нулей. Так, нули лестничных схем могут находиться только в левой полуплоскости комплексной переменной р. Ограничения на свойства передаточных функций вызываются также видом элементов. Так, в RС-цепях полюсы могут располагаться только на отрицательной вещественной полуоси. В лестничных RС-цепях на отрицательной вещественной полуоси располагаются как полюсы так и нули.

Условия физической реализуемости модуля и аргумента комплексной передаточной функции. Если переменная р принимает только мнимые значения р = j, то операторные функции превращаются в комплексные функции вида:

Учитывая, что j 2 = —1, j 3 = — j, j 4 = 1 и т. д., комплексную передаточную функцию можно записать следующим образом (см. § 7.4):
(16.1)
где
(16.2)
(16.3)
(16.4)
(16.5)

Любая комплексная функция может быть представлена в виде (см. § 7.4)
где |H(j)| – АЧХ, а () – ФЧХ цепи.

Модуль передаточной функции H(j) согласно (7.43)
(16.6)

В синтезе цепей часто пользуются понятием квадрата модуля передаточной функции |H(j)|2. Это позволяет избавиться от иррациональных функций. На основании формул (16.1)—(16.4) легко показать, что квадрат модуля передаточной функции в общем виде может быть представлен следующим образом (7.45):

Из УФР операторных функций следует УФР квадрата модуля передаточной функции:
1) |H(j)|2 – четная, дробно-рациональная функция;
2) n m;
3) полиномы числителя и знаменателя неотрицательны на вещественной полуоси.

Найдем аргумент комплексной передаточной функции. Из (16.1) следует, что
тогда
где

Функция D() называется функцией угла или тангенс-функцией. УФР тангенс-функции следует из УФР операторных функций. Тангенс-функция должна удовлетворять следующим условиям:
1) D() – нечетная дробно-рациональная функция;
2) коэффициенты D() должны быть вещественными.

Условия физической реализуемости временных функций цепи. Как уже отмечалось, в зависимости от конкретно решаемой задачи, электрические цепи удобно описывать либо частотными характеристиками, либо временными. Так, при построении многоканальных систем передачи с частотным разделением каналов удобно пользоваться частотными характеристиками, а в цифровых системах связи, где применяется временное разделение каналов, удобно описывать электрические цепи временными характеристиками. К временным характеристикам относятся (см. § 8.1) переходная g(t) и импульсная h(t) характеристики. Напомним, что переходная характеристика численно равна отклику (реакции) цепи на единичное воздействие 1(t), в качестве которого может быть либо ток, либо напряжение. Отклик также может быть либо током, либо напряжением, поэтому, как и в случае передаточных функций существует четыре типа переходных характеристик (гл. 8) gu(t), gi(t), gY(t), gz(t). Первые две характеристики являются безразмерными, третья имеет размерность проводимости, а четвертая – сопротивления.

Импульсная характеристика численно равна отклику цепи на -функцию. Существует также четыре типа импульсных характеристик (гл. 8): hu(t), hi(t), hY(t), hz(t). Как показано в гл. 8. импульсная и переходная характеристики выражаются одна через другую, поэтому они не являются независимыми (см. § 8.1). Для описания цепи достаточно знать одну из них. Применение того или другого описания цепи зависит от конкретной задачи.

Условия физической реализуемости данных характеристик следует из свойств операторных передаточных функций. Действительно, так как изображение по Лапласу переходной и импульсной характеристик имеет соответственно вид
то g(t) и h(t) легко найти с помощью теоремы разложения (§ 7.2). Из этой теоремы следует, что g(t) состоит из слагаемых вида
(16.7)

Функция h(t), кроме перечисленных слагаемых, может содержать слагаемое (t) (см. (8.3)).

Слагаемое, приведенное в первой строке (16.7) соответствует простым вещественным, во второй строке – простым комплексно-сопряженным, в третьей кратным вещественным, а в четвертой – кратным комплексно-сопряженным полюсам передаточной функции Н(р).

На основании изложенного легко сформулировать УФР переходных и импульсных характеристик: если h(t) и g(t) могут быть представлены в виде суммы перечисленных выше слагаемых и при этом все коэффициенты являются вещественными, а a > 0, то h(t) и g(t) будут удовлетворять УФР.

Условия физической реализуемости входных функций (входных сопротивлений Z(p) и проводимостей Y(p)).

Возникает вопрос: всякому ли выражению Z(p) можно сопоставить реальный, т. e. физически осуществимый двухполюсник. Очевидно, если синтезируется реактивный двухполюсник, то функция Z(p) должна отвечать свойствам входного сопротивления реактивных двухполюсников: быть дробно-рациональной с вещественными коэффициентами и степенями числителя и знаменателя, отличающимися не более чем на единицу; нули и полюсы этой функции должны чередоваться на мнимой оси плоскости р (см. § 4.5).

При синтезе RLC-двухполюсников функция Z(p) должна обладать свойствами входного сопротивления этих двухполюсников. Входные функции таких четырехполюсников относятся к классу так называемых положительных вещественных функций (ПБФ), которые удовлетворяют следующему дополнительному условию: Re[Z(p)] X 0 или Re[Y(p)] X 0 при a > 0.

Можно показать, что положительные вещественные функции всегда представляют собой отношение двух полиномов Гурвица, степени которых отличаются не более, чем на единицу, т. e. нули и полюсы расположены в левой полуплоскости. Кроме того, если ПВФ имеет полюсы или нули на мнимой оси (включая р = 0 и р = ), то эти полюсы и нули являются вещественными и положительными.

Часто рассматриваются цепи, содержащие элементы только двух видов: LC-, RC- и RL-цепи. Ограничения на вид используемых элементов накладывают дополнительные ограничения на входные функции. Так, нули и полюсы входных функций LC-цепей находятся на мнимой оси и чередуются. Аналогичным свойством обладают входные функции RC- и RL-цепей с той лишь разницей, что их нули и полюсы находятся на отрицательной вещественной полуоси.

назад | оглавление | вперёд