Теория электрических цепей

Электротехника, электроника и схемотехника (часть 1)

Тема 16. Проблема синтеза линейных электрических цепей | назад | оглавление | вперёд |

16.6. Задача реализации в синтезе электрических цепей. Синтез реактивных двухполюсников

Идея любого метода синтеза двухполюсников заключается в том, что находится способ разложения заданной операторной функции на более простые функции, по которым уже легко восстановить схему. Например, пусть входное сопротивление выражается формулой

Разделив почленно числитель на знаменатель, получим:

Из этой записи очевидно, что соответствующая схема состоит из последовательного соединения резистора a1/b1 в емкости b1/a0.

Напомним общие свойства реактивных двухполюсников (см. § 4.5). Эти свойства вытекают из того факта, что LС-двухполюсники не могут рассеивать энергию, поэтому при p = j вещественная часть функции сопротивления и проводимости равна нулю

Таким образом, сопротивление (проводимость) двухполюсника является мнимой функцией частоты, а нули и полюсы соответствующей операторной функции лежат на мнимой оси, чередуются и являются простыми, а вычеты в полюсах – положительными. Так как коэффициенты операторной входной функции являются вещественными, то нули и полюсы составляют комплексно-сопряженные пары. Учитывая сказанное, операторное сопротивление реактивного двухполюсника можно записать в виде

Объединяя попарно комплексно-сопряженные нули и полюсы получаем (см. табл. 4.1):
(16.15)

Напомним, что чередование нулей и полюсов отображается неравенством
(16.16)

Если заданная функция Z(p) обладает свойствами входного сопротивления реактивных двухполюсников, то говорят, что она удовлетворяет условиям физической реализуемости. Это означает, что существуют схемы двухполюсников с реальными значениями элементов, входное сопротивление которых описывается заданной функцией Z(p).

В результате синтеза часто получают двухполюсники в виде канонических схем Фостера или Кауэра (подобные схемы существуют и для RLC-двухполюсников).

Для иллюстрации идеи синтеза ограничимся рассмотрением только реактивных двухполюсников.

Метод Фостера. Рассмотрим метод синтеза LC-двухполюсников, предложенный Фостером. Согласно этому методу функцию сопротивления либо функцию проводимости, как любую дробно-рациональную функцию, можно представить в виде суммы дробей (вспомним, например, теорему разложения).

Для двухполюсников, построенных по первой форме Фостера, наиболее общей является схема, изображенная на рис. 16.4. Остальные схемы могут быть получены из нее путем “удаления” соответствующих элементов Lа и Са.

Рис. 16.4 |

Можно составить выражение для входного сопротивления Z(p), отражающее структуру рис. 16.4:
(16.17)

Первые два слагаемые соответствуют последовательному соединению элементов Lа и Са, остальные – последовательному соединению параллельных контуров с элементами L2 и С2, L4 и С4 и т. п. Существуют формулы для расчета элементов этой схемы. Приведем их без доказательства:
(16.18)

Процедура синтеза двухполюсников по первой форме Фостера сводится, таким образом, к представлению заданной рациональной дроби Z(p) в виде (16.17) и расчету элементов по формулам (16.18). Заметим, что первое слагаемое будет существовать в выражении (16.17) тогда, когда заданная дробь Z(p) неправильная, т. е. степень числителя будет на единицу превышать степень знаменателя. Число элементов двухполюсника соответствует наивысшей из степеней числителя и знаменателя заданной дроби Z(p). При четных степенях знаменателя из (16.17) исчезает второе слагаемое 1/(рСа).

Пример. Дано выражение

Осуществим синтез двухполюсника по первой форме Фостера. Можно показать, что заданная функция Z(p) является физически реализуемой. Представим Z(p) в виде (16.17):
(16.17a)

Расчет элементов произведем по формулам (16.18): С1 = 1,165 мкФ; С3 = 7,0 мкФ; L1 = 1/(22С1) = 28,6 мГн; L3 = 1/(42С3) = 0,84 мГн.

Схема двухполюсника состоит из четырех элементов (наивысшая степень дроби – 4): последовательно соединенных двух параллельных колебательных контуров с элементами L1, С1 и L3, С3. Отсутствие в схеме катушки индуктивности Lа обусловлено тем фактом, что дробь Z(p) правильная. Вследствие четности степени знаменателя в схеме отсутствует конденсатор Са.

Аналогичным образом осуществляется синтез двухполюсников по второй форме Фостера. В этом случае наиболее общей является схема на рис. 16.5.

Рис. 16.5 |  | Рис. 16.6 |

Входная проводимость Y(p) такого двухполюсника представляется суммой слагаемых, описывающих проводимости последовательных контуров и элементов Lб и Cб. При синтезе двухполюсников заданная проводимость Y(p) раскладывается на сумму указанных слагаемых.

Метод Кауэра. В теории электрических фильтров (см. гл. 17) находит применение синтез реактивных двухполюсников по схемам Кауэра. Наиболее общими являются схемы на рис. 16.6. Из них получаются остальные разновидности двухполюсников. Выражения входных сопротивлений для этих схем можно записать в виде так называемых лестничных дробей. Так, в первой схеме Кауэра (левая схема на рис. 16.7, а) катушка индуктивности L1 соединена последовательно с остальной частью схемы, поэтому Z(p) = pL1 + Z2(p). Оставшаяся справа от катушки часть схемы представляет собой параллельное соединение конденсатора и части схемы правее точек a—b. Поэтому Y2(p) = 1/Z2(p) = pC2 + Y3(p). Рассуждая подобным образом, можно прийти в итоге к следующей записи:
(16.18)

Дробь вида (8.19) называется лестничной. Синтез двухполюсников по первой схеме Кауэра состоит в разложении заданной функции Z(p) в лестничную дробь (16.18). Коэффициенты при р являются значениями элементов схемы.

Рис. 16.7 |

В виде лестничной дроби можно представить и входное сопротивление второй схемы Кауэра (правая схема на рис. 16.7, б). В этой дроби первый и остальные элементы будут следующего вида: 1/( pС1), 1/( pL2), 1/( pС3) и т. д.

Пример. Осуществим синтез двухполюсника по выражению Z(p) из предыдущего примера в виде первой схемы Кауэра. Заданная дробь имеет четвертый порядок (наивысшая из степеней числителя и знаменателя равна 4). Разложение ее в цепную дробь осуществляется последовательным делением полинома знаменателя на полином числителя, последнего – на остаток от первого деления, остатка от первого деления – на остаток от второго деления и т.д.:
1)
2)
3)
4)

В результате находится цепная дробь:

Этой дроби соответствует реактивный двухполюсник, схема которого приведена на рис. 16.8; она содержит четыре элемента С1 = 1,0 мкФ; L2 = 20 мГн; С3 = l,04 мкф; L4 =9,4 мГн.

Рис. 16.8 |

Пример. Найти лестничную схему, рассчитать значения параметров элементов, если ее нормированное сопротивление равно

Так как степень полинома числителя больше степени знаменателя, то возможно выполнить деление данных полиномов:

В результате такого деления получаем формулу

Дальнейшее деление невозможно, так как степень полинома остатка меньше степени полинома знаменателя. Для продолжения деления преобразуем последнее выражение:
(16.19)

Числитель полученной в остатке дроби имеет степень числителя больше степени знаменателя и деление возможно:

С учетом данного шага формула (16.19) принимает вид

Преобразуем полученное выражение так, чтобы имелась возможность дальнейшего деления:

Продолжая данную процедуру, в конечном итоге получаем следующее выражение:

Первое слагаемое представляет собой сопротивление индуктивности с L1 = 1, второе – проводимость емкости с С2 = 1, третье – сопротивление индуктивности с L3 = 2, четвертое – сопротивление емкости с С4 = 2 и пятое – сопротивление индуктивности с L5 = 1. Подстановка данных элементов в схему рис. 16.6 дает окончательный результат синтеза двухполюсника (рис. 16.9).

Рис. 16.9 |  | Рис. 16.10 |

Пример. По функции нормированного сопротивления
синтезировать схему двухполюсника в виде лестничной структуры. Будем осуществлять деление относительно p–1, т. е. на каждом шаге исключать слагаемое минимальной степени. Процесс деления покажем в компактном виде:

Соответствующая данному разложению схема показана на рис. 16.10.

Таким образом, согласно методу Кауэра можно синтезировать два вида лестничных схем:
1) с индуктивностями в продольных и с емкостями в поперечных ветвях (первая схема Кауэра);
2) с емкостями в продольных и с индуктивностями в поперечных ветвях (вторая схема Кауэра).

Представляют определенный интерес двухполюсники, состоящие из элементов R и С, а также из элементов R и L. Подход к синтезу таких двухполюсников остается такой же, как и в случае реактивных двухполюсников. Конечно, имеются свои особенности, но вид канонических схем остается прежним. Так RL-двухполюсники получаются из реактивных канонических схем путем замены емкостей на резисторы, а RС-двухполюсники – путем замены индуктивностей на резисторы. Одна из возможных канонических схем RС-двухполюсников показана на рис. 16.11.

Рис. 16.11 |

назад | оглавление | вперёд